8.9.2002
Aulis Tenkanen

GEODEETTISET TASOITUSLASKUT VAJAIDEN HAVAINTOSARJOJEN PERUSTEELLA
Erään diplomityön tarina vuodelta 1958

Geodesian piirissä esiintyvät virhetasoitukset perustuvat yleensä siihen tosiasiaan, että havaintojen pikkuvirheet, sen jälkeen kun systemaattisten tekijöiden vaikutus on mahdollisimman tarkoin poistettu, noudattavat verrattain hyvin Gaussin virhelakia. Lain mukaan todennäköisyys y sille, että havainnossa tehdään virhe v, saadaan kaavasta

jossa h² on keskivirheen neliöön kääntäen verrannollinen vakio ja e Neperin luku (luonnollisen logaritmin kantaluku).

Toinen peruste on se, että havainnot voidaan säännöllisesti katsoen toisistaan riippumattomiksi. Jos siis on havaittu suureen x_i ja x_j arvopareja suuri lukumäärä n, voidaan suureiden kovarianssi

m_ij = [v_iv_j]/n

merkitä nollaksi. Tällöin havaintojen painokerroinmatriisi P^-1 , joka sisältää variansseista

m_i² = [v_iv_i]/n

 ja kovariansseista painoyksikön keskivirheen neliöllä jaetut suureet eli käänteispainot ja kofaktorit, käsittää vain käänteispainoista muodostetun viistorivin.

Esiintyy kuitenkin tapauksia, jolloin korrelaatiokertoimet eivät olekaan nollia; havaintoparien kesken vallitsee jonkinlainen riippuvuus. Näin on esim. silloin, kun havainnot sisältävät yhteisiä virhelähteitä. Niinpä jos havaintovirheet W riippuvat Gaussin lakia noudattavista suureista V siten, että

W = A·V,

vallitsee havaintovirheiden W kesken ilmeinen korrelaatio. Kaavassa A on tasasivuinen matriisi, joka käsittää havaintojen luvun n mukaisen määrän sarakkeita ja yhtä monta riviä; W ja V ovat kumpikin n kpl alkioita käsittäviä sarakkeita. Jos suureiden V painokerroinmatriisi on P_v^-1, on suureiden W  painokerroinmatriisi

P_w^-1  = AP_v^-1A^T.

Seuraavassa oletamme lisäksi, että suureet V ovat toistaan riippumattomat, jolloin P_v^-1 käsittää vain pelkän viistorivin. Viimeisestä kaavasta huomamme, että siitä huolimatta voivat painokerroinmatriisissa P_w^-1 kofaktorit vain poikkeustapauksessa olla nollia; yleensä havaintovirheiden W kesken vallitsee korrelaatio.

Kun kyseessä on toisistaan riippumattomien havaintojen tasoitus, haetaan sellaiset virheet V, jotka muodostavat todennäköisimmän yhdistelmän, ja muutetaan havaintoja näillä arvoilla. Todennäköisyyden sille, että samassa havaintoverkossa on yhtaikaa tehty virhe v₁ ensimmäisessä mittauksessa, v₂ toisessa mittauksessa jne., ilmaisee toisistaan riippumattomien tapauksessa tiheysfunktio

f (v₁···v_n) = y₁···y_n,

jossa suureet y_1...n ilmaisevat todennäköisyyden sille, että tehdään virhe v_1...n. Kun havaintovirheet noudattavat Gaussin lakia, voidaan y-arvot sijoittaa tiheysfunktioon, joka saavuttaa maksiminsa silloin, kun

p₁v₁² + p₂v₂² + ··· + p_nv_n² = minimi

eli

V^TP_vV = minimi,

jossa P_v on painojen muodostama viistorivi. Kaavoista edellinen osoittaa käytännöllisen tasoitusperiaatteen silloin, kun havaintovirheet ovat toisistaan riippumattomat ja noudattava Gaussin lakia.

Korreloitujen suureiden tiheysfunktio on vastaavasti

f(W) = f(V(W)) (det J),

jossa (det J) on Jacobin funktionaalideterminantti; se ei tässä yhteydessä enemmälti kiinnosta, koska se on vakio, joka ei esiinny tiheysfunktion eksponentissa eikä siis vaikuta todennäköisimpien virheiden W laskentaan.

Muunnosta varten on ratkaistava V, jolloin  saadaan

V = A^-1W

Tällöin edellytetään, että det A ei ole nolla, toisin sanoen suureiden W kesken ei saa vallita funktionaalista riippuvuutta.

Tiheysfunktio f(W) saavuttaa edelle esitettyjen kaavojen mukaan, kun

V^TP_vV = minimi.

Kun tähän sijoitetaan V = A^-1W, saadaan tasoitusperiaatteeksi korreloitujen havaintojen tapauksessa

W^TP_wW = minimi.

Riipumatta siitä, ovatko havaintovirheet toisistaan riippumattomia ja keskenään korreloivia, matriisikaavoin ilmaistuna lineraaristen mallien optimointitekniikat ovat esitetyn perusteella identtiset. Jälkimmäisessä tapauksessa havaintojen painokerroinmatriisi on kuitenkin täydellinen tai vain osa päälävistäjän ulkopuolisista alkioista on nolla riippuen siitä, onko korrelaatioita suureiden W kaikissa kombinaatiopareissa.

Voidaksemme suorittaa virheiden tasoituksen optimaalisesti meidän ei tarvitse tuntea niitä yhtälöitä, jotka tekevät havainnot korreloiduiksi, jos vain voimme olettaa, että havaintovirheet saadaan lineaarimuunnoksella Gaussin lakia noudattavista toistaan riippumattomista virheistä. Tasoitusta varten riittää, että tunnemme havaintovirheiden P-matriisin tai sen käänteismatriisin.

Sovelluksena lineaaristen monimuuttujamallien optimoinnista vajanaisten havaintosarjojen perusteella laskin esimerkin, jossa oli tasoitettava eräs runsaasti vajaita suuntasarjoja sisältänyt perusviivan suurennusverkko. Niiden luku oli suhteellisen suuri sen vuoksi, että kustakin havaintosarjasta, jossa esiintyi sääsuhteista johtuen huonosti kaukoputkessa näkyneitä suuntia, jätettiin niitä koskevat havainnot pois. Olettaen alkuperäiset havainnot toisistaan riippumattomiksi samat suunnat käsittävät sarjat yhdistettiin laskemalla eri sarjoista suuntien keskiarvot . Sen jälkeen suoritettiin kolmiopisteittäin lopullinen asematasoitus pienimmän painollisen neliösumman periaatteen mukaisesti. Tämä tapahtui suuntatasoituksena painoina niiden sarjojen lukumäärät, joista kukin suuntakeskiarvo oli laskettu. Käyttämällä suuntia kulmien asemasta ei tässä vaiheessa vielä tarvittu korreloitujen havaintojen tasoitusteoriaa. Asematasoituksen yhteydessä laskettiin verkkotasoitusta varten sopivasti valittujen kulmien käänteispainot ja kofaktorit. Verkon pakkoyhtälöt muodostettiin asematasoituksen antamia kulmia käyttäen. Kun normaaliyhtälöiden ratkaisu ei tarjoa mitään tavallisuudesta poikkeavaa, ei tässä yhteydessä ole aihetta laskennan yksityiskohtaisempaan esittelyyn.

Painoyksikön eli kerran havaitun suunnan keskivirheeksi m saatiin

m = ((V^TPV)/r)^½ = ±0,88",

jossa r = ehtoyhtälöiden luku. Noin 34 km pitkän perussivun keskivirheeksi tuli m_s = ± 82 mm. Havaintojen  parempi laatu korvasi hyvin sen epäkohdan, että niiden lukumäärä pieneni alkuperäisestä 397:sta 310:een, vieläpä tarkkuus selvästi kasvoi.

Vajaat suuntasarjat olisi voitu ottaa huomioon myös sitä perinteistä tapaa käyttäen, jossa lopullisen asematasoituksen vaatimat ehtoyhtälöt liitetään verkon ehtoyhtälöihin ja kaikki tasoitetaan yhdessä. Se taisi olla prof. Reino Hirvosen tarkoitus, kun hän antoi minulle diplomityön aiheen. Tällöin ei siis lainkaan olisi tarvittu kofaktoreita. Korreloitujen havaintojen tasoitusteorian mukainen tasoitustapa tarjosi kuitenkin mm. seuraavat edut:

• Sen avulla normaaliyhtälöt voitiin ratkaista pieninä ryhminä. Käsikonelaskennan  aikakaudella se oli melkoinen etu.
• Suorittamalla asema- ja verkkotasoitus toisistaan erillään saatiin selville verkon suuntavirhe.

Epilogi

Korreloitujen havaintojen tasoitusteoria oli diplomityön laatimisen aikana Suomessa tuntematon eikä sitä löytynyt edes uusimmasta alan englanninkielisestä oppikirjastakaan (Tienstra 1956). Siksi diplomityön valvojana toiminut geodesian prof. Hirvonen kertoi minulle, että hän oli ottanut yhteyttä kotimaisiin geodeettikollegoihinsa tarkistaakseen, oliko joku heistä opastanut minua teorian kehittämisessä. ”Kun ei ollut, niin ehdotin diplomityölle kiitettävää arvosanaa, eikä kukaan kollegoistani virkkanut siihen mitään.”

Hirvonen pyysi minua vielä laatimaan diplomityöstäni artikkelin saksalaisessa ammattilehdessä julkaistavaksi. Tein näin, ja Hirvonen lupasi kääntää kirjoituksen saksaksi. Lähdin sitten armeijaan suorittamaan asevelvollisuuttani ja jäin odottamaan kirjoituksen ilmestymistä. Taisi jäädä saksannos tekemättä, koska kirjoitustani ei näkynyt saksalaisissa lehdissä. Mutta kun Hirvonen julkaisi v. 1965 tasoituslaskusta uuden oppikirjan, siinä esitetään mitenkään perustelematta tasoituslaskun periaatteet samassa muodossa kuin minäkin olin diplomityössäni jo vuonna 1958 esittänyt. Ilmeisesti joku muukin oli maailmalla ajan mittaan, ehkä itsenäisesti, päätynyt samaan johtopäätökseen kuin minä.

Artikkelini on lyhennelmä hallussani olevasta käsikirjoituksesta. Matriisimerkintöjä ja termejä olen nyt tarkistanut Hirvosen oppikirjassa (1965) esitettyyn suuntaan. Käsikirjoitukseni sisältää myös kulmatasoituksen painokerroinmatriisin, ehtoyhtälöiden kertoimien matriisin ja  normaaliyhtälöiden matriisin kolmella desimaalilla laskettuna, mutta kahteen desimaaliin pyöristettynä. Diplomityössä laskelmat on esitetty täydellisinä.

Työelämäni suuntautui maankäytön suunnitteluun ja kiinteistötehtäviin, joissa ei kehittämääni teoriaa tarvittu. Äskettäin panin merkille, että vajaiden havaintosarjojen ongelma on keskeinen kyselytutkimusten yhteydessä ja johtanut usein puuttuvien havaintojen korvaamiseen teknisistä syistä järkevillä arvauksilla eli imputaatiolla.

Viitekirjallisuutta

Hirvonen, R.A. 1965: Tasoituslasku. Teknillisten tieteiden akatemia.
Tienstra, J. M. 1956: Theory of the Adjustment of Normally Distributed Observations. Argus, Amsterdam.